Cuando eclosiona de su huevo, la cáscara de un cierto cangrejo tiene 1 cm de ancho cuando se cultiva aproximadamente 10 cm cada uno nuevo más grande que anterior a ¿cuántas cáscaras D?

Denotemos el tamaño del caparazón del cangrejo en cada etapa de crecimiento de la siguiente manera:

S1 =1 cm (tamaño inicial)

S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm

S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm

S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm

...

Podemos observar un patrón aquí. El tamaño de la carcasa en cada etapa se obtiene agregando 1/3 del tamaño de la etapa anterior.

En general, el tamaño de la carcasa en la enésima etapa se puede expresar como:

SN =S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

Para determinar el número de conchas de los cobertizos de cangrejo (excluyendo el caparazón inicial), necesitamos encontrar el valor de N para el cual Sn ≥ 10 cm.

10 cm ≤ sn

10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

10 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(N-1)]]

Podemos reconocer la expresión dentro de los soportes como la suma de una serie geométrica con el primer término 1 y la relación común 1/3. La suma de una serie geométrica viene dada por:

Sum =A1 / (1 - R), donde A1 es el primer término y R es la relación común.

Conectando A1 =1 y R =1/3, obtenemos:

Suma =1/(1 - 1/3) =3/2

Por lo tanto,

10 cm ≤ S1 [3/2]

S1 ≥ (10 cm) * (2/3)

S1 ≥ 6.67 cm

Esto implica que el cangrejo arrojará su caparazón cuando alcance un tamaño de aproximadamente 6.67 cm.

Para determinar el número de capas de caparazón, necesitamos encontrar el valor de N tal que Sn ≥ 6.67 cm.

6.67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3)^2S1 + ... + (1/3)^(N-1) S1

6.67 cm ≤ S1 [1 + (1/3) + (1/3)^2 + ... + (1/3)^(N-1)]]

Dado que la suma de la serie geométrica es 3/2, tenemos:

6.67 cm ≤ S1 * (3/2)

S1 ≥ (6.67 cm) * (2/3)

S1 ≥ 4.45 cm

Esto significa que el cangrejo arrojará su caparazón una vez que su tamaño exceda de 4,45 cm.

Ahora necesitamos determinar el número de etapas o mudas que sufre el cangrejo antes de que su tamaño exceda de 4,45 cm.

Comenzando con S1 =1 cm, podemos calcular las etapas posteriores de la siguiente manera:

S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm

S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm

S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm

Podemos ver que S4 es superior a 4,45 cm. Por lo tanto, el cangrejo arrojará su caparazón durante la transición de la tercera etapa (S3) a la cuarta etapa (S4).

Por lo tanto, el cangrejo habrá arrojado 3 conchas (excluyendo la cubierta inicial) para cuando su tamaño exceda de 10 cm.